Warum das schriftliche Dividieren aus den Lehrplänen verschwindet

Herr Holzäpfel, was sagen Sie zu dieser Aufregung um das schriftliche Dividieren in der Grundschule?

Lars Holzäpfel: Wenn man jetzt rückblickend mit etwas Distanz auf diese Debatte blickt, dann sieht man sehr schön, dass die Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler, die zu diesem Thema befragt wurden, eine sehr konsistente Perspektive hatten: nämlich, dass es beim Rechnen auf das Verständnis ankommt. Es gibt neben dem schriftlichen Dividieren auch andere Verfahren, die gerade für die Grundschule deutlich geeigneter sind, um das Verständnis beim Dividieren zu fördern. Insofern ist das Verschieben des schriftlichen Dividierens in die Sekundarstufe didaktisch sinnvoll – und das ist auch nicht neu, denn bereits in den KMK-Bildungsstandards 2004 ist das für die Grundschule nicht mehr vorgesehen. Groß war hingegen die Aufregung bei Menschen aus Politik und Verbänden und auch aus der Elternschaft. Bei Gruppen also, die sich weniger aus einer didaktischen Perspektive damit befasst haben. Dabei wurde zum Beispiel geäußert, dass ein Kulturgut verloren gehe und dass man damit die Anforderungen senken würde – doch genau das ist nicht der Fall. Aus der Perspektive der Didaktik ist dies vielmehr als Aufwertung zu verstehen: Ziel ist es die Qualitäten und Ansprüche an den Unterricht zu steigern, indem das Verständnis für die Algorithmen gefördert wird – um sie auch langfristig besser behalten und anwenden zu können.

Und was bedeutet das jetzt für die schriftliche Division?

Lars Holzäpfel: Es geht nicht darum, die Division wegzulassen; das war in der ganzen Debatte ein unglückliches Missverständnis. In der Kritik steht das schriftliche Verfahren, der Algorithmus, den die Kinder beim schriftlichen Dividieren mit dem Untereinanderschreiben, dem Subtrahieren und dem Herunterholen der nächsten Ziffer lernen, der aber für sie in diesem Alter schwer verstehbar ist und nicht selten in einer auswendiggelernten Schritt-für Schritt-Prozedur endet. Das bringt für das mathematische Verständnis wenig. Und es gibt ein alternatives Verfahren, das halbschriftliche Dividieren, mit dem wir ganz andere Verstehenszugänge ermöglichen können und auf das dann später der Algorithmus des schriftlichen Dividierens aufgebaut werden kann, sofern dies weiterhin erforderlich ist.
 

Was ist eigentlich das Problematische am schriftlichen Dividieren?

Lars Holzäpfel: Das kann ich ganz kurz erklären: Nehmen wir ein Beispiel: 13 200 geteilt durch 12. Wenn wir das schriftlich machen, dann überlegen wir, wie oft passt die 12 in die 13? Genau einmal. Das schreibe ich als Ergebnis auf die rechte Seite und subtrahiere auf der linken Seite die 12 von der 13. Es bleibt Rest 1, dann hole ich die 2 (von der 13 200) herunter, und erhalte die Zahl 12. Die wird wiederum durch zwölf geteilt und ich schreibe dann das Ergebnis 1 auf die rechte Seite. Jetzt subtrahiere ich die 12 von der 12 und erhalte 0. Aber was mache ich jetzt mit den beiden letzten Nullen aus der Zahl 13 200? Manchmal hören Lernende an dieser Stelle im Verfahren auf. Sie merken schon, wie fehleranfällig das ist. An diesem Beispiel wird auch sehr schön erkennbar, dass beim schriftlichen Dividieren eigentlich ein Rechnen mit Ziffern erfolgt, während beim so genannten halbschriftlichen Rechnen die Größenvorstellungen der Zahlen und auch die Zahlzerlegungen eine wichtige Rolle spielen. Das legt eine ganz andere Grundlage für das Weiterlernen. Und dies ist nur ein möglicher Fehler von vielen weiteren, die dann passieren können, wenn man das Verfahren nur "blind anwendet".

Ausführliche Lehrvideos dazu finden sich in einigen DZLM-Projekten, unter anderem hier.

Das ist bei der halbschriftlichen Division anders?

Lars Holzäpfel: Lassen Sie uns einmal die beiden Vorgehensweisen an einem konkreten Beispiel vergleichen:

Im linken Beispiel sieht man sehr schön, dass im zweiten Schritt bereits der Rest 0 übrigbleibt und das ist die Stelle, an der Lernende dann möglicherweise aufhören, weil sie davon ausgehen, dass die Prozedur beendet ist. 

Auf der rechten Seite wird schrittweise vorgegangen; man spricht hier auch vom halbschriftlichen Verfahren. Bei dieser Methode zerlegt man die Zahl 13 200 geschickt in Teile, die man überblicken kann. Ich frage zum Beispiel: Welchen möglichst großen Teil von 13200 kann ich finden, der durch 12 teilbar ist? Die Antwort könnte hier die 12000 sein, denn diese ist durch 12 teilbar. Es bleiben noch 1200 übrig und dann kann weiter überlegt werden. Hier erhält man dann das Zwischenergebnis 100 und am Ende wird all das addiert und man erhält das Ergebnis 1100. Es wird deutlich: Hierbei wird nicht mit Ziffern hantiert – vielmehr werden die Größenvorstellungen aktiviert, es werden Zahlzerlegungen vorgenommen, die auch das Denken in Stellenwerten unterstützen kann. Das Verfahren ist flexibel – die Zahlzerlegungen können auf ganz unterschiedliche Weisen vorgenommen werden. Man hat mit dem halbschriftlichen Vorgehen eine hohe Rechensicherheit und kann dies später auch gut in das standardisierte ziffernbasierte Verfahren überführen – und dieses dann auch grundlegend verstehen. 

Hier wird also deutlich: Es geht nicht um ein Senken der Ansprüche, weil man etwas aus dem Lehrplan reduziert, sondern um eine Stärkung der Ansprüche in Richtung Verstehensorientierung, also Tiefe. Zudem legt man ein wichtiges Fundament für das Weiterlernen wir nennen das in unserem QuaMath-Projekt das Durchgängigkeitsprinzip. Denn wir haben bei den Kindern nun sowohl eine Größenvorstellung als auch eine Divisionsvorstellung grundgelegt und stabilisiert. Das dient zum Beispiel als Grundlage für das Erarbeiten von Rechengesetzen – etwa des Distributivgesetzes, wenn man die Rechnung mithilfe der Zerlegung wie folgt notiert: 13200 : 12 = 12000 : 12 + 1200 : 12 = 1100. Insgesamt wird das Anliegen deutlich: Die Kinder verstehen das Vorgehen - beziehungsweise später auch den Algorithmus -, anstatt unverstanden irgendwelche Prozeduren auszuführen.

Was bedeutet das für den Mathematikunterricht in der Grundschule?

Lars Holzäpfel: Man muss ganz elementare Verstehensgrundlagen in den Fokus rücken. Beim Dividieren gibt es hierzu zum Beispiel die „passen in“ - Vorstellung, also die Frage, wie oft eine Zahl in eine andere passt. Diese Vorstellung wird auch beim Messen genutzt, wenn ich die Frage stelle, wie viele cm-Stücke in eine Länge passen. Multiplizieren ist wiederum eine andere Vorstellung und diese muss ich davon abgrenzen können. Und wenn ich diese elementaren Vorstellungen nicht habe, dann funktioniert auch der weitere Verstehensaufbau in den folgenden Schuljahren nicht. Wie kann ich ein Verständnis von Flächeninhalten aufbauen, wenn ich kein Multiplikationsverständnis habe? Oder nehmen wir die Prozentrechnung, wenn ich sage „mal 0,8“, dann sind das 80 Prozent „von“ etwas. Aber warum muss ich hier multiplizieren und warum führt die Multiplikation plötzlich zu einem kleineren Ergebnis? Wieso muss ich da nicht dividieren, es wird doch am Ende weniger? Irritierend können dann auch Aufgaben sein wie „4 : ½ = ?“ sein. Das Ergebnis 8 ist größer als die Ausgangszahl! Mit der Grundvorstellung „passen in“ lässt sich das aber gut erklären: „wie oft passt ½ in 4?“ An solchen Beispielen zeigt sich sehr schön, dass Kinder, die rein technisch vorgehen und mit Kehrbrüchen hantieren - also einen unverstandenen Algorithmus anwenden und mit dem Kehrwert multiplizieren - später schnell einiges durcheinanderbringen. Und das gilt natürlich für viele Themengebiete – ob bei den Rechenregeln der Bruchrechnung oder bei den Flächeninhaltsformeln und so weiter. Das elementare Verständnis von unten her durchgehend aufzubauen, ist ein ganz wesentlicher Punkt und eine enorm wichtige Aufgabe des Mathematikunterrichts – und das beginnt elementar in der Grundschule.

Welche Rolle spielen dabei die Schulbücher? Machen die es richtig?

Lars Holzäpfel: Es gibt gerade in der Grundschule sehr gute Schulbücher. Lehrkräfte sollten da bei der Auswahl genau hinschauen. Natürlich ist das Buch nicht alles – es kommt auf den Unterricht an. Aber ein gutes Schulbuch ist schon mal eine gute Grundlage, die auch von viel Vorbereitungsaufwand entlastet.
 

Wie kann sich der Mathematikunterricht weiterentwickeln und was können Lehrkräfte tun?

Lars Holzäpfel: Wir bieten im Deutschen Zentrum für Lehrkräftebildung Mathematik (DZLM) in verschiedenen Projekten wie QuaMath und jetzt auch Startchancen zahlreiche Fortbildungen für Lehrkräfte an – und natürlich wird in diesem Rahmen auch jede Menge an Material sowohl für Lehrkräfte als auch für den Unterricht entwickelt und angeboten. Dies alles ist begleitet durch intensive Forschungsaktivitäten, sodass die Qualitäten – sowohl was die Materialien angeht aber auch die Fortbildungen betreffend – ständig im Blick behalten werden. Das halte ich für wichtig, denn heutzutage gibt es sehr viele Angebote, die nicht unbedingt förderlich sind – in diesem unübersehbaren Markt braucht man eine Orientierung und das DZLM steht hier für forschungsbasierte Qualitäten.

Um noch einmal den Bogen zu spannen zur Diskussion um die schriftliche Division: Es geht uns Didaktikerinnen und Didaktiker um verständiges Rechnen – und das gilt für sämtliche Themengebiete des Mathematikunterrichts, denn nur so können die Algorithmen dann auch verstanden und letztlich nachhaltiger behalten werden.

Weitere Informationen zum Thema „Schriftliche Division“.

Zur Person

Dr. Lars Holzäpfel ist Professor für Didaktik der Mathematik am Institut für Mathematische Bildung der Pädagogischen Hochschule Freiburg. Er gehört der erweiterten Leitung von „QuaMath – Unterrichts- und Fortbildungs-Qualität in Mathematik entwickeln“ an. QuaMath ist ein Programm des Deutschen Zentrums für Lehrkräftebildung Mathematik (DZLM) am Leibniz-Institut für die Pädagogik der Naturwissenschaften und Mathematik (IPN), gefördert von der Kultusministerkonferenz (KMK). Lars Holzäpfel war außerdem am Projekt „MaCo – Mathematik aufholen nach Corona“ beteiligt. Er ist Mitautor der Schulbuchreihe Mathewerkstatt des Cornelsen Verlags und Mitherausgeber der Zeitschrift mathematik lehren.